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引言 追溯到高中，那是我们便接触了阶乘和简单的二项式定理。随后直到大学，接触到了微积分。那时的我一直在思考：微积分同二项式定理是否存在关联？ 现在，我能够自己回答这个问题。当然，答案是有的。 文章内容 简单介绍广义二项式定理 将其与微积分联系到一起，引入Gamma函数 总结Gamma函数的基本特性 二项式定理 更为自然的表达形式 我们熟知的二项式定理写作：$\displaystyle (x+y)^n = \sum_{k=0}^n{C_n^k,x^k,y^{n-k}}$ ，其中 $\displaystyle C_n^k$ 为组合数。 为了更通用地描述广义二项式定理，我们将组合数换一种新的形式写作：$\displaystyle C_n^k = {n \choose k}$，读作：n choose k。 此时，二项式定理变为： $$\displaystyle (x+y)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k} ,x^k,y^{n-k} = \sum_k^n {n \choose k} ,x^{n-k},y^k$$ 在物理学中更常见的形式： $$\displaystyle (1+x)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k} ,x^k$$ 自然的，当指数n为自然数（0和所有正整数），我们知道： $$\displaystyle {n \choose k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$ 当指数为非整数时 当指数n为分数时，我们就面临了几个问题： 二项式定理是否还能继续成立？ 分数阶乘的数学定义是什么？ 此时应该怎么怎么做计算？ 牛顿（Isaac Newton）在1665年将二项式定理推广到了实数域。此时在求和时，有限项变成了无穷级数。事实上，即使在复数域，二项式定理依然成立。 $$\displaystyle (1+x)^n = \sum_{k=0}^\infty 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2!...