引言

追溯到高中,那是我们便接触了阶乘和简单的二项式定理。随后直到大学,接触到了微积分。那时的我一直在思考:微积分同二项式定理是否存在关联?

现在,我能够自己回答这个问题。当然,答案是有的。

文章内容

  • 简单介绍广义二项式定理
  • 将其与微积分联系到一起,引入Gamma函数
  • 总结Gamma函数的基本特性

二项式定理

更为自然的表达形式

我们熟知的二项式定理写作:$ \displaystyle (x+y)^n = \sum_{k=0}^n{C_n^k,x^k,y^{n-k}} $ ,其中 $\displaystyle C_n^k$ 为组合数。

为了更通用地描述广义二项式定理,我们将组合数换一种新的形式写作:$\displaystyle C_n^k = {n \choose k}$,读作:n choose k。

此时,二项式定理变为:

$$\begin{equation} \displaystyle (x+y)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k} ,x^k,y^{n-k} = \sum_k^n {n \choose k} ,x^{n-k},y^k \end{equation}$$

在物理学中更常见的形式:

$$\begin{equation} \displaystyle (1+x)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k} ,x^k \end{equation}$$

自然的,当指数n为自然数(0和所有正整数),我们知道:

$$\label{coefficient} \begin{equation} \displaystyle {n \choose k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \end{equation}$$

当指数为非整数时

当指数n为分数时,我们就面临了几个问题:

  1. 二项式定理是否还能继续成立?
  2. 分数阶乘的数学定义是什么?
  3. 此时应该怎么怎么做计算?

牛顿(Isaac Newton)在1665年将二项式定理推广到了实数域。此时在求和时,有限项变成了无穷级数。事实上,即使在复数域,二项式定理依然成立。

$$\label{generalized} \begin{equation} \displaystyle (1+x)^n = \sum_{k=0}^\infty 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2!},x^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!},x^3 + \cdots \end{equation}$$

进一步考察此式:当n为自然数时,所有 $k>n$ 项的系数均为零。此时无穷级数截止于 $k=n$ 项(包括此项),二项无穷级数退化成有限项,即普通的二项式定理。

广义二项式的无穷级数敛散性会随着x与n的变化而变化。对于式 $(\ref{generalized})$ 的敛散性这里提两种情况:

  • $\lvert x \rvert < 1$,对于任何实数和复数n,无穷级数均收敛。
  • $\lvert x \rvert > 1$,除非n是一个非负整数,不然无穷级数均发散。

对于 $\lvert x \rvert = 1$ 的情况,详细可以看Wikipedia:Bionomial series convergence

Gamma函数

阶乘的定义

当我们使用式 $(\ref{coefficient})$ 计算系数时,可以使用分子分母约去相同项来计算。

另一方面,当我们刨根问底想要直接计算时,却产生了这个问题:$\displaystyle \frac{1}{2}! = ,?$

不妨从代数方面重新思考阶乘:$\displaystyle n! = n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots2\cdot1$,但是它只能适用于n是正整数的情况,这些点都是离散的。然而我们想要找到一个连续函数 $\displaystyle f(x)$ ,使得:

  • $$\label{condition-1} \begin{equation} \displaystyle f(1) = 1 \end{equation}$$
  • $$\label{condition-2} \begin{equation} \displaystyle f(n) = n \cdot f(n-1) \end{equation}$$

这样,既能使其满足递推关系,又能满足边界条件。

factorial

Pi函数与阶乘

当我们希望通过组合基础函数得到光滑的解析解,以拟合正整数阶乘的时候,结果却均以失败告终。

19世纪,高斯(Gaussian)给出了一个积分形式,将其命名为Pi函数,能够同时满足式 $(\ref{condition-1})(\ref{condition-2})$ :

$$\begin{equation} \displaystyle f(x) = \Pi(x) = \int_0^\infty{t^{x},e^{-t},dt} \end{equation}$$

Pi函数其实也是Gamma函数的一种,它更适合用来表示阶乘,或过度到连续连续函数。需要注意的是,此处引入了一个Dummy Variable: t,积分结果是不显含t的,仅为x的函数。

首先考察式 $(\ref{condition-1})$,可以使用分部积分法(integral by parts)轻松得到结果。其中 $\displaystyle \lim_{x \to \infty}te^{-t} = 0$ 可以通过洛必达法则得到(L’Hopital Rule):

$$\displaystyle f(1) = \Pi(1) = \int_0^\infty{te^{-t},dt} = -te^{-t}\rvert_0^\infty + \int_0^\infty{e^{-t}},dt = 1 $$

其次考察式 $(\ref{condition-2})$,同样使用分部积分法,其中的极限可以反复使用洛必达法则依然得到结果零:

$$\displaystyle f(n) = \Pi(n) = -t^ne^{-t}\rvert_0^\infty + \int_0^\infty{e^{-t}},d(t^n) = n\int_0^\infty{t^{n-1}e^{-t}},dt = nf(n-1) $$

可见,Pi函数能够很好地满足正整数时阶乘的定义。事实上,即便是分数阶乘,也能给出精确解。由此可见,Pi函数能够很自然地代表阶乘:

$$\begin{equation} \displaystyle \Pi(x) = x! = \int_0^\infty{t^{x},e^{-t},dt} \end{equation}$$

那么,利用Pi函数和高斯积分我们能够回答上面提出的问题:

$$\displaystyle \frac{1}{2}! = \int_0^\infty{\sqrt{t}e^{-t},dt} = 2\int_0^\infty{y^2e^{-y^2},dy} = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$$

Pi函数与Gamma函数

上一小节中曾提到,Pi函数是Gamma函数的一种(an alternative notation),那么它们之间的关系是什么?

$$\label{gamma} \begin{equation} \displaystyle \Gamma(x) = \Pi(x-1) = \int_0^\infty{t^{x-1}e^{-t},dt} \end{equation}$$

应用与特性

将在未来写一篇新的文章补充此部分,已经加入待办清单。

  • Gamma函数的欧拉反射公式
  • Gamma导数及其形式
  • 与黎曼Zeta函数的联系
  • Gamma函数的傅立叶展开

结束语

虽然将广义二项式定理与Gamma函数联系到一起显得有些牵强,但是这也是我在学习量子物理的过程中,真真切切地对自己的无知发出的思考。

面对未知,我们应当去问为什么。这也是我学习的方法论:选择看似困难一些的道路,别被经验所束缚。

希望这篇文章能够帮助到同样拥有好奇心的你。最后,共勉。