从广义二项式定理到Gamma函数

引言 追溯到高中,那是我们便接触了阶乘和简单的二项式定理。随后直到大学,接触到了微积分。那时的我一直在思考:微积分同二项式定理是否存在关联? 现在,我能够自己回答这个问题。当然,答案是有的。 文章内容 简单介绍广义二项式定理 将其与微积分联系到一起,引入Gamma函数 总结Gamma函数的基本特性 二项式定理 更为自然的表达形式 我们熟知的二项式定理写作:$\displaystyle (x+y)^n = \sum_{k=0}^n{C_n^k,x^k,y^{n-k}}$ ,其中 $\displaystyle C_n^k$ 为组合数。 为了更通用地描述广义二项式定理,我们将组合数换一种新的形式写作:$\displaystyle C_n^k = {n \choose k}$,读作:n choose k。 此时,二项式定理变为: $$\displaystyle (x+y)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k} ,x^k,y^{n-k} = \sum_k^n {n \choose k} ,x^{n-k},y^k$$ 在物理学中更常见的形式: $$\displaystyle (1+x)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k} ,x^k$$ 自然的,当指数n为自然数(0和所有正整数),我们知道: $$\displaystyle {n \choose k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$ 当指数为非整数时 当指数n为分数时,我们就面临了几个问题: 二项式定理是否还能继续成立? 分数阶乘的数学定义是什么? 此时应该怎么怎么做计算? 牛顿(Isaac Newton)在1665年将二项式定理推广到了实数域。此时在求和时,有限项变成了无穷级数。事实上,即使在复数域,二项式定理依然成立。 $$\displaystyle (1+x)^n = \sum_{k=0}^\infty 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2!...

January 14, 2019 · 1 min · Bruce Yip

博客搭建指南(三):镜像加速

简介 这篇文章能带给你什么 升级Linux内核,开启拥塞控制算法(bbr) cloudflare提供的免费cdn加速,隐藏真实ip地址(可选) 文章已经在第一版(2018)的基础上经过多次修订,现在配置更为简单(2020) 归档部分若无特殊需要请跳过,在未来我会移除它(暂时保留以供有些同学升级时作为参考) 在开始之前,请确保 已经读过、或大致浏览过博客系统构建(一)和博客系统构建(二) 有基本的Linux系统知识 能够使用vim/nano/emacs编辑文件 更新软件包和列表,到最新版本 文章中的部分命令略去了sudo BBR 什么是BBR? bbr是由google的某位工程师的茶余饭后作品,它能大幅度提高tcp的响应速度,加速服务器的响应和并发能力。值得一提的是,Linux的内核在4.9+版本中,已经支持开启tcp-bbr功能。 升级Linux内核 我的服务端系统已经升级到了Ubuntu20.04,内核已经默认支持bbr加速,故只需要开启即可。 验证升级,开启bbr算法 # 验证内核号 uname -r # 编辑/etc/sysctl.conf文件,加入以下两行 # net.core.default_qdisc=fq # net.ipv4.tcp_congestion_control=bbr # 或采用如下命令行 echo "net.core.default_qdisc=fq" >> /etc/sysctl.conf echo "net.ipv4.tcp_congestion_control=bbr" >> /etc/sysctl.conf # 重载内核参数 sysctl -p # 验证修改,输出结果应均带有bbr sysctl net.ipv4.tcp_available_congestion_control sysctl net.ipv4.tcp_congestion_control CDN(可选) cloudflare的免费CDN加速已经足够使用,若域名是在大陆备案的,则可以考虑使用七牛的融合CDN加速,效果更佳好。 cloudflare的配置十分简单,基本就是点击下一步下一步,到域名供应商那里修改以下name sever,最后等待几分钟后就完成了。其默认的配置不需要修改,不再赘述。 若采用其他家的CDN服务,保证tls版本,保证websocket服务打开即可。 注:CDN加速对静态文件效果很好,但是对于大流量的代理而言则可能会拖慢速度,请配置好cloudflare以绕过某些uri。 写在最后 这个系列基本上就完结了,也经过多次的修订(目前已经是第三版了2020),也给许多同学/朋友带来了工作和学习上的帮助。最后也感谢那些指出文章的打印错误和代码BUG的同学/朋友,是你们让它变得更好。 最后,有问题可以发我邮件哦~ 归档:Debian 8 安装新版内核 Ubuntu/Debian官方内核列表,选择内核版本时,首先是要linux-image-x.xx-generic开头的,其次是尽量选择已经签名的、比较新的版本,我这里选择了v4.16。 注意!在升级内核前请创建快照或者备份!!!...

July 23, 2018 · 1 min · Bruce Yip

博客搭建指南(二):代理服务器

简介 这篇文章能带给你什么 Project V + websocket + tls 利用caddy开放某个路由,通过websocket将流量转发到V2ray中 文章已经在第一版(2018)的基础上经过多次修订,现在配置更为简单(2020) 归档部分若无特殊需要请跳过,在未来我会移除它(暂时保留以供有些同学升级时作为参考) 在开始之前,请确保 已经读过、或大致浏览过博客系统构建(一) 有基本的Linux系统知识 能够使用vim/nano/emacs编辑文件 更新软件包和列表,到最新版本 文章中的部分命令略去了sudo Project V 什么是V? Project V是一款用Go语言编写的新兴的网络分发、代理、混淆的自由软件。相比较老前辈SS,其配置更加丰富,能够利用它实现的功能会更加多,而对websocket/http2协议的支持,让它的穿透和抗检测能力大幅提高。 注1:本文的内容基本没有大幅度改动,另外据说现在SS被查的很严(2020) 注2:安装和更新自 Aug 2020 起,有略微变化,你可以在这里找到更多的信息 fhs-install-v2ray 安装V # 首先安装依赖库 sudo apt update sudo apt install curl unzip daemon # 老版本安装方式(弃用):curl -Ls https://install.direct/go.sh | sudo bash # 下载安装脚本 curl -O https://raw.githubusercontent.com/v2fly/fhs-install-v2ray/master/install-release.sh curl -O https://raw.githubusercontent.com/v2fly/fhs-install-v2ray/master/install-dat-release.sh # 安裝和更新 V2Ray bash install-release.sh # 安裝最新的 geoip.dat 和 geosite.dat bash install-dat-release....

July 23, 2018 · 2 min · Bruce Yip

博客搭建指南(一):静态内容

简介 这篇文章能带给你什么 使用Hugo生成静态博客 利用Caddy将博客通过HTTPS伺服起来 文章已经在第一版(2018)的基础上经过多次修订,现在配置更为简单(2020) 归档部分若无特殊需要请跳过,在未来我会移除它(暂时保留以供有些同学升级时作为参考) 在开始之前,请确保 有基本的Linux系统知识 能够使用vim/nano/emacs编辑文件 拥有一个独立域名,一台Linux服务器(本文以Ubuntu20.04为例) 已经将域名解析到了Linux服务器上 更新软件包和列表,到最新版本 文章中的部分命令略去了sudo Hugo 什么是Hugo Hugo是用Go语言编写的静态网站生成器(Static Site Generator),有不少静态模板,非常间接便于使用。 安装Hugo 在Ubuntu下安装Hugo就变得十分地便捷了(相比Debian而言),你只需要更新一下软件包安装即可。 sudo apt update sudo apt install hugo 新建站点 # 站点存放目录,与后面Caddy的配置联动 mkdir -p /var/www cd /var/www # 新建站点,本文以atomlab为例 hugo new site atomlab 安装Hugo主题 Hugo的主题页,选择自己喜欢的一款主题,请先详细阅读一遍主题页的说明(非常重要),然后按照主题详情页的引导安装。本文以主题even为例。 # 切换到新建好的站点中(你的站点名) cd /var/www/atomlab # 安装主题(不同主题安装方式不同) git clone https://github.com/olOwOlo/hugo-theme-even themes/even cp themes/even/exampleSite/config.toml ./config.toml 新建文章,测试主题 # 假定工作目录在/var/www/atomlab # 因为主题原因是post,一般而言是posts/hello.md hugo new post/hello.md # 生成静态网页,包括草稿,生成好的内容在public目录中 hugo -D Caddy 什么是Caddy Caddy是利用Go语言编写的较新的Web伺服器,比起老牌的Nginx,它的配置更为简单,并且能够自动在Let’s Encrypt上更新HTTPS证书。另外,Caddy v2 更为完善,配置也更为方便和科学。...

July 23, 2018 · 2 min · Bruce Yip